【#范文大全# #等比数列教案十二篇#】教案课件在老师们的工作中至关重要，每天都要写教案课件。教案是高效教学的不可或缺组成部分。从“等比数列教案”中可以学到很多有价值的内容，如果觉得对朋友有帮助，请分享给他们！
教学内容：
人教版小学数学教材六年级下册第107～108页例2及相关练习。
教学目标：
1、在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。
2、让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
重点难点：
探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。
教学准备：
教学课件。
教学过程：
一、直接导入，揭示课题
同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书课题：数与形）
【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。
二、探索发现，学习新知
（一）教师与学生比赛算题
1、教师：你知道等于多少吗？（学生：）
教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。
2、只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的'同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？
在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。
3、知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？
【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。
（二）借助正方形探究计算方法
1、这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。
2、进行演示讲解。
（1）演示：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。
想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？那么涂色部分还可以怎么算呢？，也就是说。
（2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？
根据学生回答，板书。
（3）演示：那么计算就可以得到？。
3、看到这儿，你发现什么规律了吗？
4、小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。
5、这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？
6、尝试练习
【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。
（三）知识提升，探索发现
1、感受极限。
（1）刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？再接着加，一直加到，得数等于？随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？
（2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。）
（3）想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？
（学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。）
2、利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
（1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。
（2）学生看书思考。
（3）全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。
【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。
3、课堂小结。
对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？
教师小结：是的，“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。
4、举一反三。
其实在以前的学习中，我们也常用到到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到些例子吗？（如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。）
教学目的：1.灵活应用等比数列的定义及通项公式。 2.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法。 教学重点：等比中项的应用及等比数列性质的应用。 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 教学过程： 一、复习：等比数列的定义、通项公式、等比中项 二、讲解新课： 1.等比数列的性质：若m+n=p+q，则 2.判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 3.等比数列的增减性：当q>1, >0或01, 0时， { }是递减数列；当q=1时， { }是常数列；当q
一. 教学内容：
等差、等比数列的综合应用
二、教学目标：
综合运用等差、等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.
三、要点：
（一）等差数列
1. 等差数列的前 项和公式1：
2. 等差数列的前 项和公式2：
3. （m， n， p， q ∈N ）
5. 对等差数列前n项和的最值问题有两种：
（1）利用 >0，d
当 ≤0，且 二次函数配方法求得最值时n的`值。
（二）等比数列
1、等比数列的前n项和公式：
∴当 ① 或 ②
当q=1时， 时，用公式②
2、 是等比数列 不是等比数列
②当q≠－1或k为奇数时， 仍成等比数列
【模拟】
1. 已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为 （ ）
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 已知数列{an=3n－2，在数列{an}中取ak2，akn ，… 成等比数列，若k1=2，k2=6，则k4的值 （ ）
A. 86 B. 54 C. 160 D. 256
3. 数列A. 750 B. 610 C. 510 D. 505
4.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，
则这个数列有 （ ）
A. 13项 B. 12项 C. 11项 D. 10项
6. 数列 并且 。则数列的第100项为（ ）
A. C. 7. 在等差数列{ ＝－15，公差d＝3，求数列{ 的元素个数，并求这些元素的和。
依据如下：
(1)从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。
(2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。
(3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。
突破难点方法：
(1)明确难点、分解难点，采用层层推导延伸法，利用学生已有的知识切入 ，浅化知识内容。比如可以先求麦粒的总数，通过设问使学生得到麦粒的总数为 ，然后引导学生观察上式的特点，发现上式中，每一项乘以2后都得它的后一项，即有 ，发现两式右边有62项相同，启发同学们找到解决问题的关键是等式左右同时乘以2，相减得和。从而得知求等比数列前n项和 ……+ 的关键也应是等式左右各项乘以公比q，两式相减去掉相同项，得求和公式 ，也掌握了这种常用的数列求和方法——错位相减法，说明这种方法的用途。
(2)值得一提的是公式的证明还有两种方法：
后两种方法可以启发引导学生自行完成。这样学生从各种途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维。
等比数列前n项和公式及应用是本节课的重点内容。
依据如下：
(1)新大纲中有较高层次的要求。
(2)教学地位重要，是教学中全部学习任务中必须优先完成的任务。
(3)这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化为等比数列的求和上来。
突出重点方法：
(1)明确重点。利用高一学生求知积极性和初步具有的数学思维能力,运用比较法来突出公式的内容（彩色粉笔板书）： ，强调公式的应用范围： 中可知三求二。
(2)运用纠错法对公式中学生容易出错的地方，即公式的条件 ，以精练的语言给予强调，并指出q=1时， 。再有就是有些数列求和的项数易错，例如 的项数是n+1而不是n。
(3)创设条件、充分保证。设置低、中、高三个层次的例题，即公式的直接应用、公式的变形应用和实际应用来突出这一重点。对应用题师生要共同分析讨论，从问题中抽象出等比数列，然后用公式求和。
2．实际应用题.
这样设置主要依据：
(1)练习题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。
(2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传授的教学系统的思想确立这样的习题 。
(3)应用题比较切合对智力技能进行检测，有利于数学能力的提高。同时，它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性，。
根据高一学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，简称“例—规”法。
案例为浅层次要求，使学生有概括印象。
公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。
应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。
其中，案例是基础，是学生感知教材；公式为关键，是学生理解教材；练习为应用，是学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书、棋盘教具和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，加深了学生理解巩固与应用，有利于培养学生思维能力，落实好教学任务。
在提倡教育改革的今天，对学生进行思维技能培养已成了我们非常重要的一项教学任务。研究性学习已在全国范围内展开，等比数列就是一个进行研究性学习的好题材。在我们学校可以按照Intel未来教育计划培训的模式，学完本节课后，教师可以给学生布置一个研究分期付款的课题，让学生利用网络资源，多方查找资料，并通过完成多媒体演示文稿和网页制作来共同解决这一问题。这样不仅培养了学生主动探究问题、解决问题的能力，而且还提高了他们的创新意识和团结协作的精神。
一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第一章“数列”第六节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
2.从学生认知角度来看
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
3. 学情分析
教学对象是刚进入高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。
4. 重点、难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
二、目标分析
1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3．情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。
三、教学方法与教学手段
本节课属于新授课型，主要利用计算机辅助教学，
采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式.
四、教学过程分析
学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，引导学生去经历知识的'形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，形成自主学习的能力。
1．创设情境，提出问题
一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
穷人30天借到的钱：（万元）
穷人需要还的钱：?
2．学生探究，解决情境
（2）教师紧接着把如何求？的问题让学生探究，
①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）
由此得出穷人不能向富人借钱
【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．
解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就可以消去了，得到： ≈1073(万元) ＞ 465（万元） 。老师强调指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？
【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数 学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。
3．类比联想，解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。
一般等比数列前n项和：
即
方法：错位相减法
这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？
在学生推导完成之后，我再问：由得
【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。
4．小组合作，交流展示
探究1．求和
探究2．求等比数列的第5项到第10项的和．
方法1： 观察、发现：．
方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列。
探究3：求的前n项和．
【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。
5.总结归纳，加深理解
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
1.等比数列的前n项和公式
2. 数学思想： （1）分类讨论 （2）方程思想
3.数学方法： 错位相减法
【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
6．当堂检测
（1）口答：
在公比为q的等比数列中
若，则________，若，则________
若=3，=81，求q及 ，
若 ，求及q.
（2）判断是非：
① （ ）
② （ ）
③若③且，则
（ ）
【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计算能力的训练。
7．课后作业，分层练习
必做： P30习题 1—3 A组 第1题，
选作题1：求的前n项和
(2)思考题：能否用其他方法推导等比数列前n项和公式
．
【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展. 让学有余力的学生有思考的空间，便于学生开展自主学习。
五、评价分析
本节课通过推导方法的研究，使学生掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过展示交流，学生点评，教师总结，使学生既巩固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质，形成学习能力。
六、教学设计说明
1．情境设置生活化.
本着新课程的教学理念，考虑到高二学生的心理特点，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生主动探究的欲望。
2．问题探究活动化．
教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。
3．辨析质疑结构化．
在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系。
4．巩固提高梯度化．
例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。
5．思路拓广数学化．
从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．
6．作业布置弹性化．
通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．
七．教学反思
学生的根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。
其中，案例是基础，使学生感知教材；公式为关键，使学生理解教材；练习为应用，使学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了
思维能力。
这节课总体上感觉备课比较充分，各个环节相衔接，能够形成一节完整就为系统的课。本节课教学过程分为导入新课、公式推导、合作探究、课堂小结、当堂检测、布置作业。本节课总体上讲对于内容的把握基本到位，对学生的定位准确，教学过程中留给学生思考的时间，以学生为主体。
.亮点之处：
学生成为课堂的主体，教师要甘当学生的绿叶
由于数学的抽象、思维严谨等特点，学生往往对于一些较为复杂或者变化多样的题目容易望而生畏，出现懒得动脑思考、动笔去做的现象。教师也常因为时间的限制不可能给学生过多的时间去做“无用功”。在本节课上我放手让学生去思考，让学生去摸索。不怕学生出错，就是让学生能够在摸索中增强思维能力、解题技能和计算经验。特别是在例3中，教师针对题目做了简要的分析和提示，让学生去尝试着解题。张漫同学的板书详尽，将思路方法概括表述出来，过程完整。只是结果出现了一个小错误，教师在点评过程中给予指出，同时也个结果错误也是学生经常犯的。
师：上节课我们对等差数列进行了复习，在数列中另一类重要的数列是什么？
生：等比数列.
师：我们这节课复习等比数列.(点课题并板书)通过课前预习，请同学们思考下列几个问题：
1.等比数列的定义.
前n项和公式.
3.等比中项的概念.
4.等比数列最基本性质.
学生A：回答问题1，如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的商是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做这个等比数列的公比，记为q.
师：在这个定义中需要强调的有哪些？
学生A：
1.数列从第二项起.
2.“商”字，即数列中每一项都不为0.
3.同一个常数.
师：常数列是等比数列，这句话对吗？
学生A：不对，非零常数列是等比数列，也是等差数列；零常数列是等差数列但不是等比数列.
学生B：回答问题2，等比数列通项公式为：.
推广为：.其中m，n∈N*.
等比数列前n项和公式为：
师：在应用等比数列前n项和公式时一定要注意公比得1与不得1两种情况.
学生C：回答问题3，若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，且.
师：两个数的等比中项有两个，这与两个数的等差中项不同.
学生D：回答问题4，等比数列有如下性质：
1.若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则am·an=ap·aq.
2.若Sn≠0，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列.
3.下标成等差数列的项构成等比数列.
师：以上几位同学回答得很好，下面我们做几道练习题.
教师在黑板上出几道小练习题，学生在课上迅速完成，然后口答.
1.在等比数列中，
A. B. C.或 D.-或-
2.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为( )
A.183 B.108 C.75 D.63
3.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=____.
4.若{an}为等比数列，且a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.
学生E：1题选C.在等比数列{an}中，a7a11=a4a14=6，又a4+a14=5，
是或，即选C.
学生F：2题选D.在等比数列中，由性质2，前n项和为48，次n项和为12，得末n项和为3，故前3n项和为63，即选D.
学生G：填10.因为log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=log3(a1a2…a10),
又a1a10=a2a9=…=a5a6=9，
故log3(a1a2…a10)=log395=10.
学生H：由已知得解得或
所以an=2n-1或an=23-n
师：上面几名同学完成得很好，在解题中我们需注意等比数列性质的应用.下面我们解决较综合性问题，找三名同学板演.
1.设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且在前n项和中的数值最大的项为27，求数列的第2n项.
2.已知{an}的是首项为2，公式为的.等比数列，Sn为它的前n项和.
(1)用Sn表示Sn+1；
(2)是否存在自然数c和k，使得成立？
3.设Sn为数列{an}的前n项和，且满足2Sn=3(an-1)，
(1)证明数列{an}是等比数列，并求Sn；
(2)若bn=4n+5，将数列{an}和{bn}的公共项按它们在原数列中顺序排成一个新的数列{dn}，证明{dn}是等比数列，并求其通项公式.
三个学生板演后，师生进行点评，剩余时间留给学生质疑答疑.
评析：
本节课是一节高三复习课，教学活动主要以回顾、归纳、训练的形式展开.采用了师生互动的开放式教学模式，以学生为主体、教师为主导的教学理念，主要体现在如下几个方面：
题型)----课上提出问题----学生回答问题----补充归纳、强调注意事项----巩固练习----个别答疑.
学生解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课上教学效果.
愉悦的环境下完成学习任务，提高了课堂教学效果.通过板演，强化解题的规范性、严谨性.
为适应现在高考要求，复习课应以提高学生自身素质为出发点，以搞好高三复习备考，提高备考效率为目标，这是摆在所有高三教师面前需要解决的问题，我们广大教师在今后的教学实践中要不断探讨.
一、大纲与教材
等比数列前n项和一节是人教社高中数学必修教材试验修订本第一册第三章第五节的内容，教学对象为高一学生，教学时数2课时。
第三章《数列》是高中数学的重要内容之一，之所以在新大纲里保留下来，这是由其在整个高中数学领域里的重要地位和作用决定的。
1、数列有着广泛的实际应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。
2、数列有着承前启后的作用。数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。
3、数列是培养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。
本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。等比数列前n项和前面承接了数列的定义、等差数列的知识内容，又是后面学习数列求和、数列极限的基础。
本节的重点是等比数列前n项和公式及应用，难点是公式的推导。
二、教学目标
1、知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和公式及应用。
2、能力目标：培养学生观察问题、思考问题的能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。
3、思想目标：培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。
三、教学程序设计
1、导言：
本节课是由印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事引入的，发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第 1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？
这样引入课题有以下三点好处：
(1)利用学生求知好奇心理，以一个小故事为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性。
(2)故事内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。
(3)有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性。
2、讲授新课：
本节课有两项主要内容，等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n项和公式及应用。
等比数列的前n项和公式的推导是本节课的难点。
依据如下：
(1)从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。
(2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。
(3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。
突破难点方法：
(1)明确难点、分解难点，采用层层推导延伸法，利用学生已有的知识切入 ，浅化知识内容。比如可以先求麦粒的总数，通过设问使学生得到麦粒的`总数为 ，然后引导学生观察上式的特点，发现上式中，每一项乘以2后都得它的后一项，即有 ，发现两式右边有62项相同，启发同学们找到解决问题的关键是等式左右同时乘以2，相减得和。从而得知求等比数列前n项和 ……+ 的关键也应是等式左右各项乘以公比q，两式相减去掉相同项，得求和公式 ，也掌握了这种常用的数列求和方法——错位相减法，说明这种方法的用途。
(2)值得一提的是公式的证明还有两种方法：
方法二：由等比数列的定义得： 运用连比定理，
后两种方法可以启发引导学生自行完成。这样学生从各种途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维。
等比数列前n项和公式及应用是本节课的重点内容。
依据如下：
(1)新大纲中有较高层次的要求。
(2)教学地位重要，是教学中全部学习任务中必须优先完成的任务。
(3)这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化为等比数列的求和上来。
突出重点方法：
(1)明确重点。利用高一学生求知积极性和初步具有的数学思维能力,运用比较法来突出公式的内容（彩色粉笔板书）： ，强调公式的应用范围： 中可知三求二。
(2)运用纠错法对公式中学生容易出错的地方，即公式的条件 ，以精练的语言给予强调，并指出q=1时， 。再有就是有些数列求和的项数易错，例如 的项数是n+1而不是n。
(3)创设条件、充分保证。设置低、中、高三个层次的例题，即公式的直接应用、公式的变形应用和实际应用来突出这一重点。对应用题师生要共同分析讨论，从问题中抽象出等比数列，然后用公式求和。
四、习题训练
本节课设置如下两种类型的习题：
1． 中知三求二的解答题;
2．实际应用题.
这样设置主要依据：
(1)练习题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。
(2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传授的教学系统的思想确立这样的习题 。
(3)应用题比较切合对智力技能进行检测，有利于数学能力的提高。同时，它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性，。
五、策略、方法与手段
根据高一学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，简称“例—规”法。
案例为浅层次要求，使学生有概括印象。
公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。
应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。
其中，案例是基础，是学生感知教材；公式为关键，是学生理解教材；练习为应用，是学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书、棋盘教具和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，加深了学生理解巩固与应用，有利于培养学生思维能力，落实好教学任务。
六、个人见解
在提倡教育改革的今天，对学生进行思维技能培养已成了我们非常重要的一项教学任务。研究性学习已在全国范围内展开，等比数列就是一个进行研究性学习的好题材。在我们学校可以按照Intel未来教育计划培训的模式，学完本节课后，教师可以给学生布置一个研究分期付款的课题，让学生利用网络资源，多方查找资料，并通过完成多媒体演示文稿和网页制作来共同解决这一问题。这样不仅培养了学生主动探究问题、解决问题的能力，而且还提高了他们的创新意识和团结协作的精神。
cn/c(n-1)=an*a(n+1)/an*a(n-1)=a(n+1)/a(n-1)=3
bn=a(2n-1)+a(2n)=3*a(2n-3)+3*a(2n-2)=3(bn-1)
因此bn/b(n-1)=3，所以bn为等比数列，公比为3。
2
设数列{a的第n项}的前n项和Sn=1/3(a的第n项-1)，n属于自然数
Sn-S(n-1)=an=1/3(an-1-a(n-1)+1)=(an-a(n-1)/3
已知前三项是2，4,8，数列满足a(n+1)=a(n)+2n(就是第n+1项等于第n项加上2n)，求数列的通项公式。这儿没有告诉你数列是等比数列，求通项公式之前必须证明它是等比数列，请问怎么证明?
上n-1个式子相加得到：
右边是等差数列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)
根据题意，数列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...
为了验证它是等比数列只需要比较任何一项和它相邻项的比值是一个不依赖项次的`固定比值就可以了.
所以第n项和第n+1项分别是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:
数列an前n项和为Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 证明
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
一、教材分析：
等比数列的前n项和是高中数学必修五第二章第3.3节的内容。它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续。这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。意在培养学生类比分析、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想。在高考中占有重要地位。
根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：
1.知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2.过程与方法：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、类比分析与解决问题的能力，培养学生从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3.情感与态度：通过自主探究，合作交流，激发学生的求知欲，体验探索的艰辛，体味成功的喜悦，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
重难点确定的依据：从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通；从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。
通过创设问题情境，组织学生讨论，让学生在尝试探索中不断地发现问题，以激发学生的求知欲，并在过程中获得自信心和成功感。强调知识的严谨性的同时重知识的形成过程，
从故事入手：传说，波斯国王下令要奖赏国际象棋的发明者，发明者对国王说，在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，……按这样的规律放满64格棋盘格。结果是国王倾尽国家财力还不够支付。同学们，这几粒麦子，怎能会让国王赔上整个国家的财力？
关键就在于计算麦粒的总数。很明显，这是一个以1为首项，以2为公比的等比数列前64项和的问题，即如何计算1+2+22+……+263？
当q≠1时，
公式说明：①对等比数列{an}而言，a1，an，Sn，n，q知三可求二②运用公式时要根据条件选取适当的公式，特别注意的是，在公比不知道的情况下要分类讨论；③错位相减的思想方法。
①已知a1=－4，q=1/2，求S10 ②已知a1=1，an=243，q=3，求Sn
③已知a1=2，S3=26，求q。
通过例题一，渗透知三求二的思想。
练习：求等比数列1，－1/2，1/4,－1/8，…，－1/512的各项的和。
例2. 等比数列{an}中，已知a1=3，S3=9，求q，an。
练习：等比数列{an}中，若S3=7/2,S6=63/2，求an、S9。
例3：（1）求数列1+1/2，2+1/4,3+1/8，… n+，…的前n项和。
首先由学生分析思路，观察出这组数列的特点，它既不是等差数列，也不是等比数列，而是等差加等比。归纳出这类数列求和的方法。
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
本节课的设计体现呢“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。在教学的每一个环节中军设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生解决问题的方式进行，让课堂活动变得生动而愉悦。
等比数列前n项和的公式推导，是教学的一个重点，也是一个教学难点。在新课程理念的指导下，笔者采用学案导学的教学方式，发挥学生学习的主体性，放手让学生以导学案为媒介，预习、思考、讨论，在课上大胆交流，较好的完成了教学任务，使学生体验到成功的乐趣，从而增强了学习数学的兴趣，取得较好的效果。下面是导学案的设计和应用的片段。
导学案设计：
阅读教材第55页，如果你想求解“国际象棋棋盘中放多少麦粒”这个问题，会不会真的乘方去算？等比数列求和公式的推导可是考察我们智慧的一件法宝。很多同学通过看书，恐怕也只是知其然不知其所以然。那就回答以下问题，自己体验一下，看有什么收获。
问题2：等差数列求和公式是如何推导的？公式有何特征？能否把该种思想类比到等比数列当中？
课堂实录：
教师：大家都在课下，对等比数列求和进行了较为充分的预习，今天我们就一起交流展示，重新体验伟大公式的发现过程。请有所收获的同学来展示。
学生A边讲边板书：我们已经学习等比数列的概念和通项公式， ， ，可以把等比数列前n项和表示为 表示为 ，也就是 ，即 ，整理得 ，当 时， 。把 代入，还可以得到 。
学生A：等差数列的前n项和公式中Sn是用量 、 、d和n表示的，所以，我想可不可以用 、 、q和n来表示Sn呢？而 是很容易发现的，也就有了这种推到方法。
学生B：我有另一种推到方法。等差数列求和公式推到中用性质消去了 中的中间n-2项，我把Sn改写成 ①的形式，从第二项起每一项比前一项多乘一个q，试图消项，我想到解方程组中的加减消元法，将①中两边同时乘以q，得到 ②，然后用①-②得到 ，后面就和同学甲说的一样了。
教师：乙同学的.推导方法联想了解方程组的思想，很巧妙的消项解题，那么看一看问题三的收获把？
学生陷入深思中，也有同学开始小声讨论，教师不急于说出结果，知识在巡视中对困难学生进行点播。
学生D：我发现了。结果中有一部分数列呈现等比数列的特点，x的次数逐一升高。这种手法跟刚才同学B的推导手法一致，虽然没有消项，但出现等比特点，就可以用公式求解了。分成x=1和 两种情况讨论。
教师：非常好。两位同学的说法结合到一块，就严谨了。那么要想得到这样的结果，Sn又有什么特点呢？
学生D：Sn中含有等比数列的特点，而且各项的系数中还是等差数列的特点。
教师总结：已知数列 ，如果 ，其中{ }是等差数列，{ }是等比数列，都可以使用这种方法求解，称这种方法叫做错位相减法。
第一，数学学习是一种活动，是教师指导下得学生再创造的活动。“指导再创造意味着在创造的自由性和满足师生的要求之间达到一种平衡”，这个平衡的关键是教师指导的“度”的把握，教师指导的过多，将限制学生的建构活动，而指导的不到位，又无法把学生引导到活动中去。在本节课中，教师以导学案的设问以及课堂中的补充设问，充分调动学生的求知欲，让学生在探索数学知识的形成过程中，感受到数学知识是从他们的头脑中产生的，他们是数学的发明者，创造者。
第二，教师在教学中应当因材施教。对于思维能力强，基础扎实的同学教师要努力给他们搭建展示的平台，对于理解有困难的学生，教师要耐心指导。本节课中，教师在巡视中解决了相当一部分同学问题，但仍有个别学生体验不深，如果能够再举几个例子，相信效果会更好。
第三，注重学生学习主体性的发挥，培养学生交流表达的习惯。学生的认知是通过内化与外显的多次交替而逐步发展、完善的，学生在数学活动中形成了主体性，在交流活动中表现着主体性；学生主体性的发挥又反过来促进思维的发展，满足学生对知识的不懈追求。
一、教材分析
《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。等比数列的前n项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到.具有一定的探究性。
二、学情分析
在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。在能力方面已经初步具备运
用等差数列和等比数列解决问题的能力；但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。在情感态度上学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强。并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。
三、教学目标分析：
知识与技能目标：
（1）能够推导出等比数列的前n项和公式；
（2）能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。体会公式探求
过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。
情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。
四、重难点的确立
《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。
五、教学方法
为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。
六、教学过程
为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下6个阶段：
1、创设情境：
创设一个西游记后传的情景，即高老庄集团，由于资金短缺，决定向猴哥进行贷款，猴哥每天给八戒投资1万元，以后每天比前一天多1万，连续30天，但有一个条件：第一天返还1分，第二天返还2分，第三天返还4分后一天返还数为前一天的2倍．假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒决策．这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，营造了积极、和谐的学习气氛，使学生产生学习心理倾向，并进一步了解数学来源于生活．
2、探究问题，讲授新课：
根据创设的情景，在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。提出如何求等比数列前n项和的问题，从而引出课题。通过回顾等差数列前n项和公式的推导过程，类比观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我们把每一项都乘以2，则每一项就变成了它的后一项，引导学生比较这两个式子有许多相同的项的特点，学生自然就会想到把两式相减，进而突破了用错位相减法推到公式的难点。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入本节课的重点等比数列的前n项和，请学生用错位相减法推导出等比数列前n项和公式。得出公式后，学生一起探讨两个问题，一是当q=1时Sn又等于什么，引导学生对q进行分类讨论，得出完整的等比数列前n项和公式，二是结合等比数列的通项公式,引导学生得出公式的另一形式。
3、例题讲解：
我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：
1）例1是公式的直接应用，目的是让学生熟悉公式会合理的选用公式
2）等比数列中知三求二的填空题，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用等比数列前n项和的能力.
4．形成性练习：
练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。
5．课堂小结
本节课的小结从以下几个方面进行：(1)等比数列的前n项和公式
(2)推导公式的所用方法——从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。
6.作业布置
针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。并可布置相应的研究作业，思考如何用其他方法来推导等比数列的前n项和公式，来加深学生对这一知识点的理解程度。
一、教材分析：
等比数列的前n项和是高中数学必修五第二章第3、3节的内容。它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续。这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。意在培养学生类比分析、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想。在高考中占有重要地位。
二、教学目标
根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：
1、知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2、过程与方法：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、类比分析与解决问题的能力，培养学生从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3、情感与态度：通过自主探究，合作交流，激发学生的求知欲，体验探索的艰辛，体味成功的喜悦，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
三、教学重点和难点
重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用。
难点：等比数列的前项和公式的推导。
重难点确定的依据：从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通；从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。
四、教法学法分析
通过创设问题情境，组织学生讨论，让学生在尝试探索中不断地发现问题，以激发学生的求知欲，并在过程中获得自信心和成功感。强调知识的严谨性的同时重知识的形成过程，
五、教学过程
（一）创设情境，引入新知
从故事入手：传说，波斯国王下令要奖赏国际象棋的`发明者，发明者对国王说，在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，……按这样的规律放满64格棋盘格。结果是国王倾尽国家财力还不够支付。同学们，这几粒麦子，怎能会让国王赔上整个国家的财力？
关键就在于计算麦粒的总数。很明显，这是一个以1为首项，以2为公比的等比数列前64项和的问题，即如何计算1+2+22+……+263？
（二）师生讨论、探究新知
总结归纳：当q=1时，Sn=na1
当q≠1时，
公式说明：①对等比数列{an}而言，a1，an，Sn，n，q知三可求二②运用公式时要根据条件选取适当的公式，特别注意的是，在公比不知道的情况下要分类讨论；③错位相减的思想方法。
（三）例题讲解，形成技能
例1：等比数列{an}中，
①已知a1=－4，q=1/2，求S10 ②已知a1=1，an=243，q=3，求Sn
③已知a1=2，S3=26，求q。
通过例题一，渗透知三求二的思想。
练习：求等比数列1，－1/2，1/4,－1/8，…，－1/512的各项的和。
例2、等比数列{an}中，已知a1=3，S3=9，求q，an。
练习：等比数列{an}中，若S3=7/2,S6=63/2，求an、S9。
通过练习得出等比数列前项和的一个性质：成等比数列。
例3：（1）求数列1+1/2，2+1/4,3+1/8，… n+，…的前n项和。
首先由学生分析思路，观察出这组数列的特点，它既不是等差数列，也不是等比数列，而是等差加等比。归纳出这类数列求和的方法。
思考：求和：1+a+a2+a3+…+an
（四）课堂小结
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
『设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。』
六、板书设计
略
七、课后记
本节课的设计体现呢“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。在教学的每一个环节中军设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生解决问题的方式进行，让课堂活动变得生动而愉悦。
精选阅读
希望本文所述的"等比数列教案"对您的问题提供帮助和解决，敬请参考。教案课件对于每位老师而言都是不可或缺的，因为每位老师都需要细致地设计教案课件。同时，学生的反应多样化能够为课堂提供不同的反馈角度。
一、教材分析：
等比数列的前n项和是高中数学必修五第二章第3、3节的内容。它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续。这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。意在培养学生类比分析、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想。在高考中占有重要地位。
二、教学目标
根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：
1、知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2、过程与方法：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、类比分析与解决问题的能力，培养学生从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3、情感与态度：通过自主探究，合作交流，激发学生的求知欲，体验探索的艰辛，体味成功的喜悦，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
三、教学重点和难点
重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用。
难点：等比数列的前项和公式的推导。
重难点确定的依据：从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通；从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。
四、教法学法分析
通过创设问题情境，组织学生讨论，让学生在尝试探索中不断地发现问题，以激发学生的求知欲，并在过程中获得自信心和成功感。强调知识的严谨性的同时重知识的形成过程，
五、教学过程
（一）创设情境，引入新知
从故事入手：传说，波斯国王下令要奖赏国际象棋的`发明者，发明者对国王说，在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，……按这样的规律放满64格棋盘格。结果是国王倾尽国家财力还不够支付。同学们，这几粒麦子，怎能会让国王赔上整个国家的财力？
关键就在于计算麦粒的总数。很明显，这是一个以1为首项，以2为公比的等比数列前64项和的问题，即如何计算1+2+22+……+263？
（二）师生讨论、探究新知
总结归纳：当q=1时，Sn=na1
当q≠1时，
公式说明：①对等比数列{an}而言，a1，an，Sn，n，q知三可求二②运用公式时要根据条件选取适当的公式，特别注意的是，在公比不知道的情况下要分类讨论；③错位相减的思想方法。
（三）例题讲解，形成技能
例1：等比数列{an}中，
①已知a1=－4，q=1/2，求S10 ②已知a1=1，an=243，q=3，求Sn
③已知a1=2，S3=26，求q。
通过例题一，渗透知三求二的思想。
练习：求等比数列1，－1/2，1/4,－1/8，…，－1/512的各项的和。
例2、等比数列{an}中，已知a1=3，S3=9，求q，an。
练习：等比数列{an}中，若S3=7/2,S6=63/2，求an、S9。
通过练习得出等比数列前项和的一个性质：成等比数列。
例3：（1）求数列1+1/2，2+1/4,3+1/8，… n+，…的前n项和。
首先由学生分析思路，观察出这组数列的特点，它既不是等差数列，也不是等比数列，而是等差加等比。归纳出这类数列求和的方法。
思考：求和：1+a+a2+a3+…+an
（四）课堂小结
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
『设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。』
六、板书设计
略
七、课后记
本节课的设计体现呢“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。在教学的每一个环节中军设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生解决问题的方式进行，让课堂活动变得生动而愉悦。
一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第一章“数列”第六节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
2.从学生认知角度来看
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
3. 学情分析
教学对象是刚进入高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。
4. 重点、难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
二、目标分析
1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3．情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。
三、教学方法与教学手段
本节课属于新授课型，主要利用计算机辅助教学，
采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式.
四、教学过程分析
学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，引导学生去经历知识的'形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，形成自主学习的能力。
1．创设情境，提出问题
一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
穷人30天借到的钱：（万元）
穷人需要还的钱：?
2．学生探究，解决情境
（2）教师紧接着把如何求？的问题让学生探究，
①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）
由此得出穷人不能向富人借钱
【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．
解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就可以消去了，得到： ≈1073(万元) ＞ 465（万元） 。老师强调指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？
【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数 学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。
3．类比联想，解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。
一般等比数列前n项和：
即
方法：错位相减法
这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？
在学生推导完成之后，我再问：由得
【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。
4．小组合作，交流展示
探究1．求和
探究2．求等比数列的第5项到第10项的和．
方法1： 观察、发现：．
方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列。
探究3：求的前n项和．
【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。
5.总结归纳，加深理解
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
1.等比数列的前n项和公式
2. 数学思想： （1）分类讨论 （2）方程思想
3.数学方法： 错位相减法
【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
6．当堂检测
（1）口答：
在公比为q的等比数列中
若，则________，若，则________
若=3，=81，求q及 ，
若 ，求及q.
（2）判断是非：
① （ ）
② （ ）
③若③且，则
（ ）
【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计算能力的训练。
7．课后作业，分层练习
必做： P30习题 1—3 A组 第1题，
选作题1：求的前n项和
(2)思考题：能否用其他方法推导等比数列前n项和公式
．
【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展. 让学有余力的学生有思考的空间，便于学生开展自主学习。
五、评价分析
本节课通过推导方法的研究，使学生掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过展示交流，学生点评，教师总结，使学生既巩固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质，形成学习能力。
六、教学设计说明
1．情境设置生活化.
本着新课程的教学理念，考虑到高二学生的心理特点，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生主动探究的欲望。
2．问题探究活动化．
教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。
3．辨析质疑结构化．
在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系。
4．巩固提高梯度化．
例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。
5．思路拓广数学化．
从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．
6．作业布置弹性化．
通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．
七．教学反思
学生的根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。
其中，案例是基础，使学生感知教材；公式为关键，使学生理解教材；练习为应用，使学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了
思维能力。
这节课总体上感觉备课比较充分，各个环节相衔接，能够形成一节完整就为系统的课。本节课教学过程分为导入新课、公式推导、合作探究、课堂小结、当堂检测、布置作业。本节课总体上讲对于内容的把握基本到位，对学生的定位准确，教学过程中留给学生思考的时间，以学生为主体。
.亮点之处：
学生成为课堂的主体，教师要甘当学生的绿叶
由于数学的抽象、思维严谨等特点，学生往往对于一些较为复杂或者变化多样的题目容易望而生畏，出现懒得动脑思考、动笔去做的现象。教师也常因为时间的限制不可能给学生过多的时间去做“无用功”。在本节课上我放手让学生去思考，让学生去摸索。不怕学生出错，就是让学生能够在摸索中增强思维能力、解题技能和计算经验。特别是在例3中，教师针对题目做了简要的分析和提示，让学生去尝试着解题。张漫同学的板书详尽，将思路方法概括表述出来，过程完整。只是结果出现了一个小错误，教师在点评过程中给予指出，同时也个结果错误也是学生经常犯的。
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.
教学重点，难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪，多媒体软件，电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)
①-2，1，4，7，10，13，16，19，
②8，16，32，64，128，256，
③1，1，1，1，1，1，1，
④243，81，27，9，3，1，
⑤31，29，27，25，23，21，19，
⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，
⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，
⑧0，0，0，0，0，0，0，
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。
这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列等比数列. (这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比;不是,请说明理由、
(1) 1, 4, 16, 32、
(2) 0, 2, 4, 6, 8.
(3) 1,－10,100,－1000,10000、
(4) 81, 27, 9, 3, 1.
(5) a, a, a, a, a.
讲解例二，进一步熟悉定义，根据定义求数列未知项。最后的小例一为了由利
用定义的求解转到利用定义证明，二为了让学生发现等比数列隔项同号的规律。 例题二
求出下列等比数列中的未知项:
(1) 2, a, 8;
(2) -4, b, c, ?;
? 已知数列 2, x, d, y,8、是等比数列
①证明数列2, d, 8.仍是等比数列、
②求未知项d.
通过两道例题的讲解，让学生有个缓冲，做个巩固练习。当然此练习的`安排，
也是为了进一步挖掘等比数列定义的本质，辨析找寻等差数列与等比数列的关系，将具体问题再推广到一般，并要求学生理解并掌握等比数列的判断证明方法。
练习
判断下列数列是等差数列还是等比数列？
(1) 22 , 2 , 1 , 2-1, 2-2 .
(2) 3 , 34 , 37, 310 .
引申：已知数列{an}是等差数列，而bn?2n
证明数列{bn}是等比数列.
由最后一例的证明，说明给出通项公式后可由定义判断该数列是否为等比数
列。反过来若数列已经是等比数列了，能否由定义导出数列通项公式呢？为下节课做铺垫。
【课堂小结】
由学生通过一堂课的学习，做个简单的归纳小结。
1理解.等比数列的定义,判断或证明数列是否为等比数列要用定义判断
2.等比数列公比q≠0,任意一项都不为零.
3.学习等比数列可以对照等差数列类比做研究.
【作业】
1.书p48. No.1,2;
教学内容：
人教版小学数学教材六年级下册第107～108页例2及相关练习。
教学目标：
1、在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。
2、让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
重点难点：
探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。
教学准备：
教学课件。
教学过程：
一、直接导入，揭示课题
同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书课题：数与形）
【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。
二、探索发现，学习新知
（一）教师与学生比赛算题
1、教师：你知道等于多少吗？（学生：）
教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。
2、只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的'同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？
在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。
3、知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？
【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。
（二）借助正方形探究计算方法
1、这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。
2、进行演示讲解。
（1）演示：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。
想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？那么涂色部分还可以怎么算呢？，也就是说。
（2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？
根据学生回答，板书。
（3）演示：那么计算就可以得到？。
3、看到这儿，你发现什么规律了吗？
4、小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。
5、这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？
6、尝试练习
【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。
（三）知识提升，探索发现
1、感受极限。
（1）刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？再接着加，一直加到，得数等于？随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？
（2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。）
（3）想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？
（学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。）
2、利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
（1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。
（2）学生看书思考。
（3）全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。
【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。
3、课堂小结。
对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？
教师小结：是的，“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。
4、举一反三。
其实在以前的学习中，我们也常用到到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到些例子吗？（如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。）
一、大纲与教材
等比数列前n项和一节是人教社高中数学必修教材试验修订本第一册第三章第五节的内容，教学对象为高一学生，教学时数2课时。
第三章《数列》是高中数学的重要内容之一，之所以在新大纲里保留下来，这是由其在整个高中数学领域里的重要地位和作用决定的。
1、数列有着广泛的实际应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。
2、数列有着承前启后的作用。数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。
3、数列是培养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。
本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。等比数列前n项和前面承接了数列的定义、等差数列的知识内容，又是后面学习数列求和、数列极限的基础。
本节的重点是等比数列前n项和公式及应用，难点是公式的推导。
二、教学目标
1、知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和公式及应用。
2、能力目标：培养学生观察问题、思考问题的能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。
3、思想目标：培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。
三、教学程序设计
1、导言：
本节课是由印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事引入的，发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第 1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？
这样引入课题有以下三点好处：
(1)利用学生求知好奇心理，以一个小故事为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性。
(2)故事内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。
(3)有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性。
2、讲授新课：
本节课有两项主要内容，等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n项和公式及应用。
等比数列的前n项和公式的推导是本节课的难点。
依据如下：
(1)从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。
(2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。
(3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。
突破难点方法：
(1)明确难点、分解难点，采用层层推导延伸法，利用学生已有的知识切入 ，浅化知识内容。比如可以先求麦粒的总数，通过设问使学生得到麦粒的`总数为 ，然后引导学生观察上式的特点，发现上式中，每一项乘以2后都得它的后一项，即有 ，发现两式右边有62项相同，启发同学们找到解决问题的关键是等式左右同时乘以2，相减得和。从而得知求等比数列前n项和 ……+ 的关键也应是等式左右各项乘以公比q，两式相减去掉相同项，得求和公式 ，也掌握了这种常用的数列求和方法——错位相减法，说明这种方法的用途。
(2)值得一提的是公式的证明还有两种方法：
方法二：由等比数列的定义得： 运用连比定理，
后两种方法可以启发引导学生自行完成。这样学生从各种途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维。
等比数列前n项和公式及应用是本节课的重点内容。
依据如下：
(1)新大纲中有较高层次的要求。
(2)教学地位重要，是教学中全部学习任务中必须优先完成的任务。
(3)这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化为等比数列的求和上来。
突出重点方法：
(1)明确重点。利用高一学生求知积极性和初步具有的数学思维能力,运用比较法来突出公式的内容（彩色粉笔板书）： ，强调公式的应用范围： 中可知三求二。
(2)运用纠错法对公式中学生容易出错的地方，即公式的条件 ，以精练的语言给予强调，并指出q=1时， 。再有就是有些数列求和的项数易错，例如 的项数是n+1而不是n。
(3)创设条件、充分保证。设置低、中、高三个层次的例题，即公式的直接应用、公式的变形应用和实际应用来突出这一重点。对应用题师生要共同分析讨论，从问题中抽象出等比数列，然后用公式求和。
四、习题训练
本节课设置如下两种类型的习题：
1． 中知三求二的解答题;
2．实际应用题.
这样设置主要依据：
(1)练习题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。
(2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传授的教学系统的思想确立这样的习题 。
(3)应用题比较切合对智力技能进行检测，有利于数学能力的提高。同时，它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性，。
五、策略、方法与手段
根据高一学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，简称“例—规”法。
案例为浅层次要求，使学生有概括印象。
公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。
应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。
其中，案例是基础，是学生感知教材；公式为关键，是学生理解教材；练习为应用，是学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书、棋盘教具和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，加深了学生理解巩固与应用，有利于培养学生思维能力，落实好教学任务。
六、个人见解
在提倡教育改革的今天，对学生进行思维技能培养已成了我们非常重要的一项教学任务。研究性学习已在全国范围内展开，等比数列就是一个进行研究性学习的好题材。在我们学校可以按照Intel未来教育计划培训的模式，学完本节课后，教师可以给学生布置一个研究分期付款的课题，让学生利用网络资源，多方查找资料，并通过完成多媒体演示文稿和网页制作来共同解决这一问题。这样不仅培养了学生主动探究问题、解决问题的能力，而且还提高了他们的创新意识和团结协作的精神。
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《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。等比数列的前n项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到.具有一定的探究性。
在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。在能力方面已经初步具备运
用等差数列和等比数列解决问题的能力；但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。在情感态度上学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强。并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。
（1）能够推导出等比数列的前n项和公式；
（2）能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。体会公式探求
过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。
情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。
《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。
为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。
为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下6个阶段：
1、创设情境：
创设一个西游记后传的情景，即高老庄集团，由于资金短缺，决定向猴哥进行贷款，猴哥每天给八戒投资1万元，以后每天比前一天多1万，连续30天，但有一个条件：第一天返还1分，第二天返还2分，第三天返还4分后一天返还数为前一天的2倍．假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒决策．这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，营造了积极、和谐的学习气氛，使学生产生学习心理倾向，并进一步了解数学来源于生活．
2、探究问题，讲授新课：
根据创设的情景，在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。提出如何求等比数列前n项和的问题，从而引出课题。通过回顾等差数列前n项和公式的推导过程，类比观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我们把每一项都乘以2，则每一项就变成了它的后一项，引导学生比较这两个式子有许多相同的项的特点，学生自然就会想到把两式相减，进而突破了用错位相减法推到公式的难点。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入本节课的重点等比数列的前n项和，请学生用错位相减法推导出等比数列前n项和公式。得出公式后，学生一起探讨两个问题，一是当q=1时Sn又等于什么，引导学生对q进行分类讨论，得出完整的等比数列前n项和公式，二是结合等比数列的通项公式,引导学生得出公式的另一形式。
3、例题讲解：
我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：
2）等比数列中知三求二的填空题，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用等比数列前n项和的能力.
4．形成性练习：
练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。
(2)推导公式的所用方法——从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。
针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。并可布置相应的研究作业，思考如何用其他方法来推导等比数列的前n项和公式，来加深学生对这一知识点的理解程度。
数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。这正是新课程所倡导的数学理念。
本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。
1.知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
3.情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。
教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。
设计意图：希望学生能通过日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程。
师—把上面的数列各项依次记为 ，填空：
师—上面这个规律还有其他形式吗?
师—你能用普通语言概括上面的规律吗?
学生—自由发言，选择最恰当的语言。
上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。
(1)20北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：
(2)水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)
(3)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：
时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%， 那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表(假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税)
学生—(1) ， ，
(2) ， ，
(3) ， ，
师 —满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字?
师—给出文字叙述的定义(学生叙述，板书定义)：
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首项。
对定义进行分析，强调： = 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起。
师—这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个?
52，50，48，46，44，42，40，38.
21，21.5 ，22 ，22.5 ，23 ，23.5 ，24 ，24.5 ，25
1，2，4，6，8，10，12，……
0，1，2，3，4，5，6，……
3，3，3，3，3，3，3……
2，4，7，11，16，……
-8，-6，-4，0，2，4，……
3，0，-3，-6，-9，……
设计意图：概括等差中项的概念。总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质。
师生活动：
师—想一想，一个等差数列最少有几项?它们之间有什么关系?
学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。
设三个数 成等差数列，则A叫a与b的等差中项。同时有A-a=b-A，
(2)等差数列中的任意连续三项都构成等差数列 ，反之亦成立。
设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法。
师生活动：
师—对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。
先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。
师—若一个数列 是等差数列，它的公差是d，那么数列 的通项公式是什么?
启发学生：(归纳、猜想)可用首项与公差表示数列中任意一项。
学生—第二项，所以n≥2。
师—n=1时呢?
师—很好!
1.若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=S3=12，则{an}的通项an=________.
解析：由已知a1+5d=123a1+3d=12a1=2，d=2.故an=2n.
4.在等差数列{an}中，已知a5=14，a7=20，求S5.
a1=a5-4d=14-12=2，
所以S5=5a1+a52=52+142=40.
1.(杭州质检)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1，a3=3，则S4=( )
S4=4a1+4×32×2=8.
2.在等差数列{an}中，a2+a5=19，S5=40，则a10=( )
解析：选C.由已知2a1+5d=19，5a1+10d=40.
解得a1=2，d=3.∴a10=2+9×3=29. X k b 1 . c o m
3.在等差数列{an}中，S10=120，则a2+a9=( )
解析：选B.S10=10a1+a102=5(a2+a9)=120.∴a2+a9=24.
4.已知等差数列{an}的公差为1，且a1+a2+…+a98+a99=99，则a3+a6+a9+…+a96+a99=( )
解析：选B.由a1+a2+…+a98+a99=99，
得99a1+99×982=99.
∴a1=-48，∴a3=a1+2d=-46.
又∵{a3n}是以a3为首项，以3为公差的等差数列.
=33(48-46)=66.
5.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2，
将③代入④中得n=13.
6.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的'和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
解析：选B.由等差数列前n项和的性质知S偶S奇=nn+1，即150165=nn+1，∴n=10.
7.设数列{an}的首项a1=-7，且满足an+1=an+2(n∈N*)，则a1+a2+…+a17=________.
∴{an}是一个首项a1=-7，公差d=2的等差数列.
∴a1+a2+…+a17=S17=17×(-7)+17×162×2=153..
8.已知{an}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，则其公差为d=__________.
9.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8，S9=-9，则S16=________.
解析：由等差数列的性质知S9=9a5=-9，∴a5=-1.
又∵a5+a12=a1+a16=-9，
∴S16=16a1+a162=8(a1+a16)=-72.
10.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2-23n-2(n∈N*).
(1)写出该数列的第3项;
(2)判断74是否在该数列中.
(2)n=1时，a1=S1=-24，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-24，
即an=-24，n=1，2n-24，n≥2，
由题设得2n-24=74(n≥2)，解得n=49.
∴74在该数列中.
11.(高考课标全国卷)设等差数列{an}满足a3=5，a10=-9.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.
a1+2d=5，a1+9d=-9，可解得a1=9，d=-2，
所以数列{an}的通项公式为an=11-2n.
(2)由(1)知，Sn=na1+nn-12d=10n-n2.
因为Sn=-(n-5)2+25，
所以当n=5时，Sn取得最大值.
12.已知数列{an}是等差数列.
(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数;
(2)Sn=20，S2n=38，求S3n.
解：(1)由题意知a1+a2+a3+a4=21，an-3+an-2+an-1+an=67，
所以a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88.
所以a1+an=884=22.
因为Sn=na1+an2=286，所以n=26.
(2)因为Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列，
所以S3n=3(S2n-Sn)=54.
教学理念： 数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的 参与 ，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。
设计思想： 本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
教学内容：
高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
教学地位：
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对 后续 内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。高考资源网
教学重点：
理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。
教学难点：
对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
二、学习者分析：
高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
知识目标：
理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。
培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识;通过概念的引入与通项 公式 的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。
情感目标：
①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
通过探究式教学方法充分利用现实 情景 ，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
2、 在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。
通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。
六、教学程序：
(一)设置问题，引导发现形成概念w。
北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：
情景2 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)
情景3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：
时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表(假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税)
每行数有何共同特点?请同学们互相讨论。
(从宏观上 ： 情景1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志;情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识;情景3 倡导节约意识，纳税意识。)
从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。
48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 师：(启发学生)你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗?
师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗?
师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗?
学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
(教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征：
= 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起)
这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个?
52，50，48，46，44，42，40，38.
21，21.5 ，22 ，22.5 ，23 ，23.5 ，24 ，24.5 ，25
学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。
a，a，a，a，……，为常数列，即常数列都具有这种特征。
师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字?
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首相。
对定义进行分析，强调： = 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起。注意对概念严谨性的分析。
学生9：依次是d=7，d=1，d=8，d=-6，d=5，d=-2.5，d=72.
师：在计算年末本利和的问题中求 时，能不能不按本利和=本金 (1+利率 存期)
求而按数列的特征求呢?
师：把问题推广到一般情况。若一个数列 是等差数列，它的公差是d，那么数列 的通项公式是什么?高考资源网
启发学生：(归纳、猜想)可用首相与公差表示数列中任意一项。
A、知识目标：
掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。
B、能力目标：
（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
（2）通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。
（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
教学目标
知识与技能目标：理解等差数列的定义;会根据等差数列的通项公式求某一项的值;会根据等差数列的前几项求数列的通项公式。
过程与方法目标：通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高学生思考问题、解决问题的能力。
情感、态度、价值观目标：培养学生的逻辑推理能力;培养学生在探索中学习知识的精神，增强学生相互合作交流的意识。
教学重点：会求等差数列的通项公式。
教学难点：等差数列的通项公式的推导。
教学准备：课件
教学过程：
一、创设情境，引入课题
如图1所示：一个堆放铅笔的V形架的最下面
一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1
支，这个V形架的铅笔从最下面一层往上面排起的
铅笔支数组成数列：1，2，3，4，……
②某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：
38，40，42，44，46，……
③全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为：25，，24，，23，，22，
师生互动，探索新知
教师：请同学们仔细观察，你发现这三组数列有什么变化规律?
生：数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ;
数列②从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ;
数列③从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ;
[设计说明：采用边教学边反馈的方式，有利于教师及时了解学生理解新知识的程度，增强学生学好数学的信心]
教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点。
提出问题1：上面三个数列的共同特点是什么?
学生：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
教师：这样我们就得到了等差数列的定义。
等差数列的定义：如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列;这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列的公差d的数学表达式为： 。
基础训练：1、上面数列①的公差d= ; 数列②的公差d= ;
数列③的公差d=
[设计说明：有利于学生扫除语言与符号转换的障碍]
2、下面的数列中，哪些是等差数列?若是，求出它的公差;若不是，则说明理由。
6，10，14，18，22，……;(2)9，8，7，6，5，4，3，2;(3)3，3，3，3，3，3;(4)1，0，1，0，1，0，1，
提出问题2：任何一个数列一定是等差数列吗?如果是等差数列，公差一定是正数吗?
师生讨论得出结论：
、一个数列是等差数列必须具有这样的特点： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数;
(2)等差数列的公差d可能是正数、负数、零。
[设计说明：从具体数列入手，有利于较多基础差的学生理解等差数的定义，判断数列是否为等差数列转换成具体的步骤：求后面一项与前面一项的差，看这些差是否相等]
提出问题3：等差数列 的公差d的数学表达式为： ，
揭示了求公差d可以用哪些式子表示?
师生共同活动： 等，
变式：
提出问题4：如果等差数列 只知道首项 ，公差d，那么这个数列的其他项如何表示?
师生共同活动：
…，
[设计说明：问题3、问题4的提出训练学生的变形思想、递归思想，从而引出等差数列的通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式]
等差数列的通项公式：
数量关系是行测中的一个重要考察部分，能够快速解决数量关系的考生在考试中基本可以和其他考生拉开较大分差，而比例法是解决数量问题的一个重要方法，在行程、工程以及其他很多题型中都可以能够应用。对于比例法，小编建议大家可以从以下方面来突破。
解析：题干中给出初：中=5：3，中：高=2：1，大家观察这两个比例关系不难发现，两个比例关系中都存在一个相同的量也就是中级技工的人数，那最终我们要求三者之比其实就可以借助中级这个不变量进行统一，把中级人数的份数变为相同份数，这样一份所对应的实际量也就一样了，两个比例关系也就统一到同一个维度上了。那我们可以把中级的人数统一成6分，第一个比例关系扩大2倍，第二个比例关系扩大3倍，最终可以得到初：中：高=10：6：3。
解析：本题中存在两个比例关系，这两个比例关系并没有很明显的不变量，但是其实大家再去认真思考，会发现其实两个比例关系其实隐藏了一个不变量即总量，所以可以借助总量进行统一，第一个比例关系总量为13份，第二个为5份，则可以统一为其最小公倍数65份，第一个扩大5倍，第二个扩大13倍，最终可以得到所求为25：26。
由以上两道例题我们可以得出比例解决的核心思想是什么呢，其实就是找到不同比例关系中都存在且不变量，然后统一为最小公倍数即可。
在数量遇到的题中，常用到的思想为正反比的思想。当乘积为定值时成反比，商为定值时成正比。
a.2b.4c.6d.8。
解析：本题中根据题干不难发现三种车辆行使的时间相同，时间一定，路程和速度存在正比关系。根据摩托车的速度进行比例统一，可得自行车、摩托车、汽车速度之比为4∶6∶15。由汽车15分钟比自行车多走11公里，可知15分钟内三者所走路程分别是4公里、6公里、15公里，则30分钟自行车、摩托车所走路程分别是8公里、12公里，自行车比摩托车少走4公里。故本题答案为b。
【教学目标】
1.知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式.
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识;通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力.
3.情感目标:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣.
【教学重点】
①等差数列的概念;②等差数列的通项公式的推导过程及应用.
【教学难点】
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程.
【学情分析】
我所教学的学生是我校高一(10)班的学生(平行班学生)，经过快一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展.
【设计思路】
1.教法
①诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性.
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性.
③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点.
2.学法
引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法.
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导.
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清.
教学目标 1．明确等差中的概念． 2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式 3．培养学生的应用意识． 教学重点 等差数列的性质的理解及应用 教学难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教学方法 讲练相结合 教具准备 投影片2张(内容见下面) 教学过程 (i)复习回顾 师：首先回忆一下上节课所学主要内容： 1． 等差数列定义： （n≥2） 2． 等差数列通项公式： （n≥2） 推导公式： （ⅱ）讲授新课 师：先来看这样两个例题（放投影片1） 例1：在等差数列 中，已知 ， ，求首项 与公差 例2：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。1． 解：由题意可知 解之得 即这个数列的首项是-2，公差是3。 或由题意可得： 即：31=10+7d 可求得d=3，再由 求得1=-2 2． 解设 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴ ,即时10=33+11 解之得： 因此， 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 师：如果在 与 中间插入一个数a，使 ，a， 成等差数列数列，那么a应满足什么条件？ 生：由定义得a- = -a 即： 反之，若 ，则a- = -a 师：由此可可得： 成等差数列，若 ，a， 成等差数列，那么a叫做 与 的等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是否和风细雨的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来， 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则， 生：结合例子，熟练掌握此性质 师：再来看例3。（放投影片2） 生：思考例题 例3：已知数列的通项公式为： 分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。 解：取数列 中的任意相邻两项 与 （n≥2）， 则： 它是一个与n无关的常数，所以 是等差数列。在 中令n=1，得： ，所以这个等差数列的首项是p=q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为： ，其中 、 是常数。 （ⅲ）课堂练习生：（口答） （书面练习） 师：给出答案 生：自评练习（ⅳ）课时小结 师：本节主要概念：等差中项 另外，注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。 （ⅴ）课后作业 一、课本 二、1．预习内容 2．预习提纲：①等差数列的前n项和公式； ②等差数列前n项和的简单应用。 教学后记
依据课标，以及学生现有知识和本节教学内容，制定教学目标如下：
1.教学目标：
（1）知识与技能目标：（ⅰ） 初步掌握等差数列的前项和公式及推导方法；
（ⅱ） 当以下5个量（a1，d，n，an，Sn）中已知三个量时，能熟练运用通项公式、前n项和公式求其余两个量。
（2）过程与方法目标：通过公式的推导和公式的应用，使学生体会数形结合的思想方法，体验从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律。
（3）情感态度与价值观：通过经历等差数列的前项和公式的探究活动，培养学生探索精神和创新意识，提高学生解决实际问题的观念，激发学生的学习热情。
2.教学重、难点
等差数列前项和公式的推导有助于培养学生的发散思维，而且在应用公式的过程中体现了方程（组）思想，所以等差数列前项和公式的推导和简单应用是本节课的重点。但由于高二学生推理能力有待提高，所以难点在于一般等差数列前项和公式的推导方法上。
数学教案－等差数列_高一数学教案_模板
§等差数列
目的：1.要求学生掌握等差数列的概念
2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。
重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n≥1,且n∈n*）2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1,且n∈n*).3．等到差中项：若a、a、b成等差数列，则a叫做a、b的等差中项，且
难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。
等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，…… 3，0，-3，-6，……，，…… 12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数—“等差” 二、得出等差数列的定义：（见p115）
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1．名称：ap 首项
公差
2．若
则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：
由此归纳为
当 时
（成立）
注意: 1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数
2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成ap 证明：若
它是以 为首项，为公差的ap。
3° 公式中若
则数列递增，则数列递减
4° 图象： 一条直线上的一群孤立点
三、例题： 注意在 中，，四数中已知三个可以
求出另一个。例1（p115例一）
例2（p116例二）注意：该题用方程组求参数 例3（p116例三）此题可以看成应用题 四、关于等差中项： 如果 成ap 则
证明：设公差为，则
∴
例4 《教学与测试》p77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成ap，求此数列。
解一：∵ ∴ 是-1与7 的等差中项 ∴
又是-1与3的等差中项 ∴
又是1与7的等差中项 ∴
解二：设
∴
∴所求的数列为-1，1，3，5，7 五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1．定义法：即证明
例5、已知数列 的前 项和，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解：
当 时
时 亦满足 ∴
首项
∴ 成ap且公差为6 2．中项法： 即利用中项公式，若 则 成ap。
例6 已知，成ap，求证，也成ap。
证明： ∵，成ap
∴ 化简得：
=
∴，也成ap 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。
例7 设数列 其前 项和，问这个数列成ap吗？
解： 时 时
∵
∴
∴ 数列 不成ap 但从第2项起成ap。
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法 六、作业： p118习题3．2 1-9 七、练习：
1．已知等差数列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d（2）a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。
注：不能只计算a2-a1、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。
3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。
4．在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。
分析：本题可采用两种方法来解。
（1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据 相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。
（2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。
5．在数列{an}中, a1=1,an= ,(n≥2),其中sn=a1+a2+…+an.证明数列是等 差数列，并求sn。
分析：只要证明(n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化 为sn-sn-1后再变形，便可达到目的。
6．已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，则这个数列的第10项为（）
a 18 b 19 c 20 d21 7．已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（）
a 2n-5 b 2n+1 c 2n-3 d 2n-1 8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列；命题乙：ma+p、mb+p、mc+p 成等差数列，那么甲是乙的（）
a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件
c 充要条件 d既不必要也不充分条件 9．（1）若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=
（2）首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是
（3）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是
10．已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。11．设数列{an}的前n项sn=n2+2n+4(n∈n*)(1)写出这个数列的前三项a1,a2,a3;(2)证明：除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。
12．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？
13．若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的4个根可以组成首项为 的等到差数列，求a+b 的值。
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具
投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法
讨论、谈话法.教学过程 一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1，，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－1000，，－，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）等比数列（板书）
1.等比数列的定义（板书）
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：
2.对定义的认识（板书）
（1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？
（3）公比不为0.用数学式子表示等比数列的定义.是等比数列
①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为 是等比数列
？为什么不能？
式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.3.等比数列的通项公式（板书）
问题：用 和 表示第 项.①不完全归纳法
.②叠乘法，…，这 个式子相乘得，所以.（板书）（1）等比数列的通项公式
得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.（板书）（2）对公式的认识
由学生来说，最后归结：
①函数观点；
②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）
如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.四、作业（略）五、板书设计
三.等比数列 1.等比数列的定义 2.对定义的认识
3.等比数列的通项公式 （1）公式
（2）对公式的认识
教学目标
（1）掌握 与（）型的绝对值不等式的解法．
（2）掌握 与（）型的绝对值不等式的解法．
（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；
（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；
教学重点：
型的不等式的解法；
教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题． 教学过程设计 教师活动 学生活动 设计意图 一、导入新课
?提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？ 【概括】
口答
绝对值的概念是解 与（）型绝对值不等值的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫． 二、新课
?导入】2的绝对值等于几？－2的绝对值等于几？绝对值等于2的数是谁？在数轴上表示出来．
?讲述】求绝对值等于2的数可以用方程 来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它的解有二个，一个是2，另一个是－2． 【提问】如何解绝对值方程 ．
?设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？ 【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式 的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合．
?设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？
?质疑】 的解集有几部分？为什么 也是它的解集？
?讲述】 这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以 是 解集的一部分．在解 时容易出现只求出 这部分解集，而丢掉 这部解集的错误． 【练习】解下列不等式：（1）；（2）
?设问】如果在 中的，也就是 怎样解？
?点拨】可以把 看成一个整体，也就是把 看成，按照 的解法来解．
所以，原不等式的解集是
?设问】如果 中的 是，也就是 怎样解？
?点拨】可以把 看成一个整体，也就是把 看成，按照 的解法来解．，或，由 得
由 得
所以，原不等式的解集是
口答．画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数． 画出数轴，思考答案
不等式 的解集表示为
画出数轴 思考答案
不等式 的解集为
或表示为，或
笔答（1）
（2），或
笔答 笔答
根据绝对值的意义自然引出绝对值方程（）的解法．
由浅入深，循序渐进，在（）型绝对值方程的基础上引出（）型绝对值方程的解法． 针对解（）绝对值不等式学生常出现的情况，运用数轴质疑、解惑． 落实会正确解出 与（）绝对值不等式的教学目标． 在将 看成一个整体的关键处点拨、启发，使学生主动地进行练习．
继续强化将 看成一个整体继续强化解 不等式时不要犯丢掉 这部分解的错误． 三、课堂练习解下列不等式：（1）；（2）
笔答（1）；（2）
检查教学目标落实情况． 四、小结的解集是 ； 的解集是
解 绝对值不等式注意不要丢掉 这部分解集．
或 型的绝对值不等式，若把 看成一个整体一个字母，就可以归结为 或 型绝对值不等式的解法． 五、作业
1．阅读课本 含绝对值不等式解法． 2．习题 2、3、4 课堂教学设计说明
1．抓住解 型绝对值不等式的关键是绝对值的意义，为此首先通过复习让学生掌握好绝对值的意义，为解绝对值不等式打下牢固的基础．
2．在解 与 绝对值不等式中的关键处设问、质疑、点拨，让学生融会贯通的掌握它们解法之间的内在联系，以达到提高学生解题能力的目的．
3．针对学生解（）绝对值不等式容易出现丢掉 这部分解集的错误，在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破，并在练习中纠正这个错误，以提高学生的运算能力．
（第二课时）一、教学目标
1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；
2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；
3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识．
二、教学重点平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；
教学难点平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.三、教学具准备
投影仪 四、教学过程
1．设置情境
上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？
2．探索研究
（1）师：什么叫做两个向量的数量积？
生：（与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）
师：向量的数量积有哪些性质？
生：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
师：向量的数量积满足哪些运算律？
生（由学生验证得出）
交换律：
分配律：
师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）
生：，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。
（2）例题分析
?例1】求证：
（1）
（2）
分析：本例与多项式乘法形式完全一样。
证：
注：（其中、为向量）
答：一般不成立。
?例2】已知，与 的夹角为，求.解：∵
注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.【例3】已知，且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直．
分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？
生：
解： 与 互相垂直的充要条件是
即
∵
∴
∴
∴ 当且仅当 时，与 互相垂直．
3．演练反馈（投影）
（1）已知，为非零向量，与 互相垂直，与 互相垂直，求 与 的夹角．
（2），为非零向量，当 的模取最小值时，①求 的值；
②求证： 与 垂直．
（3）证明：直径所对的圆周角为直角． 参考答案：
（1）
（2）解答：①由
当 时 最小；
②∵
∴ 与 垂直.（3）如图所示，设，（其中 为圆心，为直径，为圆周上任一点）
则
∵，∴
即 圆周角
4．总结提炼
（l）
（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立．
（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件．
（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律． 五、板书设计 课题：
1．数量积性质 2．数量积运算律 例题 1 2 3 演练反馈 总结提炼
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